동전 역설에 대하여 – 실시간 베스트 갤러리

미국에는 SAT라는 시험이 있다.

간단히 말하자면, 미국에서 “이 학생이 대학생이 될 자격(능력)이 있는가” 를 테스트하는 시험으로 미국판 수능이라고 볼 수 있다.

매년 약 100만명이 치르는 시험이니, 그 누구도 다음의 문제가 논쟁의 대상이 될 것이라곤 상상하지도 못했을 것이다.

1982년, SAT 수리영역에서 다음과 같은 문제가 출제되었다.

문제를 해석하자면, 

원 B는 원 A보다 3배 큰 반지름을 가지고 있다. 이때 원 A가 원 B를 회전할 때 회전하는 횟수는 몇번인가를 묻는 문제였다.

답은 몇번일까?

만약 본인이 (B) 3을 정답이라고 생각했다면 오답이니 다시 생각해보자.

사실, 정답은 존재하지 않았다.

답을 (B) 3으로 생각한 사람들은 원의 둘레를 구하는 공식이 2πr이고, 원 A의 반지름이 1, 원 B의 반지름이 3이라고 가정해 원의 둘레 길이가 각각 2π, 6π라고 가정해 회전수가 3번이라고 생각했을 것이다.

사실, 문제 제작자들도 그렇게 생각해서 문제를 낸 것이었고.

그러나 사실은 그렇지 않았다.

실제로는, 작은 원이 큰 원을 도는 과정에서 한바퀴 더 굴러서 답은 4번 도는 것으로 밝혀졌다.

동전으로도 이를 시험해볼 수 있다.

동전은 서로 같은 반지름과 둘레를 가지고 있지만, 하나의 동전이 다른 동전을 회전할 때, 한번이 아닌 두번 구르는 것을 확인할 수 있을 것이다.

이를 회전 동전 역설 coin rotation paradox 라고 부른다.

왜 이런 패러독스가 발생하냐하면, 우리는 위의 사진을 보고 안쪽의 고정된 동전의 둘레를 생각하지, 실제로 바깥쪽의 동전이 어떻게 돌아가는지 생각하지 않고 계산을 하기 때문이다.

실제로 원 A가 움직인 원의 길이는 원 B의 반지름에 더해 원 A의 반지름을 더해 계산해야하며, 그렇기에 답이 3이 아닌 4가 되어야 하는 것이다.