o1 pro에게 대학생 수학경시대회 풀게 하기

대수경 = 대학생 수학경시대회

kmo 등의 수학경시대회는 보통 고등학생 이상까지만 (즉, 대학 수학을 배우지 않은 사람만) 참가가 가능한데 대수경은

대학 수학 교육을 받은 사람들을 대상으로 하는 수학 경시대회

kmo 등 중등 수학경시대회보다 더 어려울 거라고 생각하기 쉽지만 

사실은 중등교육과정이랑 고등교육과정을 둘 다 비슷한 정도로 알고 있다는 가정 하에 더 높은 지적 능력을 요구하지는 않고, 

보통 2-3문제 정도만이 발상적으로 어려운 문제가 출제되긴 함

그래도 역시 대한수학회에서 수학 교수님들이 출제하는 문제인 만큼 퀄리티는 좋고 수학 능력을 평가하기 좋음

2023년도 문제

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1번은 극좌표에서 적분으로 넓이 구하는 문제고, 미적분학 같은 데에 연습문제 정도로 나올 만한 문제임

과학고 학생들은 2-3학년 때 배우고, 이공계 대학교 1학년에서 배울 정도로 쉬운 문제

1번 : 정답 (2분 25초)

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2번은 간단한 개념 문제

그냥 고윳값과 고유벡터 정의만 알면 풀 수 있는 문제고, T^2 (A) = A 인 거 이용해서 

characteristic polynomial 로 서술해도 됨

2번 : 정답 (38초)

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3번은 계산 문제로, theta'(t) 를 계산해서 부호만 판별하면 됨

3번 : 정답 

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4번은 정수를 어떤 정수들의 합으로 표현하는 방법의 수에 관한 조합론 문제

언뜻 봐서는 뭔가 점화식 같은 걸 이용할 것 같지만, 사실은 생성함수를 이용해서 구할 수 있다는 방법이 알려진

신기한 문제임

이 문제처럼 n을 {1, 2, 4, 8, …}의 원소들의 합으로 나타내는 방법의 수를 구할 때

(1 + x + x^2 + x^3)(1 + x^2 + x^4 + x^6)(1 + x^4 + x^8 + x^12)…

라는 식을 전개해서 x^n 의 계수를 보면 된다는 뜻

생성함수 발상해낸 것까지는 좋았는데, 

처음엔 답을 이렇게 적었길래 더 간단한 형태로 표현할 수 있는 방법을 찾아보라고 함

이후 생성함수 변형한 식에서의 x^n의 계수는 i + 2j = n 을 만족하는 (i, j) 순서쌍의 개수라는 걸 알아내서 정답

이미 좀 알려진 테크닉이긴 하지만, 처음에 답을 저렇게 쓰고 이후에 고친 걸 보면 풀이를 어디서 그대로 베껴온 게 아니라

스스로 발상해냈다고 봐야 하지 않을까 싶음

4번 : 정답 

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5번

선형대수학 eigenvalue 관련 문제

(1)번은 이미 잘 알려진 정리이고, (2)번은 그걸 응용해서 증명하는 문제

근데 이새기 왜 갑자기 영어로 대답함?

(2)번 증명할 때 처음에 증명에 오류 있길래 다시 하라고 함

두 번째 시도에서는 (BA-I)^2 = 2(BA-AB) 로 변형하고, trace=(eigenvalue의 합) 까지 생각한 건 좋았는데,

eigenvalue 제곱합을 구할 때 eigenvalue가 복소수일 수도 있는데 이게 항상 0 이상이라고 생각해버림.

(켤레복소수끼리 제곱합을 구해도 0보다 작을 수 있음)

대충 읽으면 맞다고 생각할 수도 있지만 틀린 내용이고, 실제로 이 논증과정이 올바르지 않다는 반례 행렬을 찾을 수도 있음.

아무튼 아직까지는 이 정도 깊이(수학과 학부 과정) 에서 발생하는 환각은 내부 검증 과정에서 놓치는 듯함

이후 힌트 주면서 다시 시도해봤는데도 실패

5번 : 오답 (증명 과정에서 오류)

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6번은 정수론 문제로, 식이 좀 복잡해 보이지만 사실은

(2023과 서로소인 수 x) x (2023과 서로소인 수 y) = (2023과 서로소인 수)

가 된다는 것과, x가 고정돼있을 때 y를 변화시켜가면서 더하면 결국 우변은 2023과 서로소인 수가 전부 한번씩 나온다는 걸 이용하면 쉽게 풀 수 있음

그리고 그걸 잘 캐치해내고 식까지 완벽하게 쓴 후 합을 잘 구함. (채점자가 누구라도 만점을 줄 수준)

그냥 패턴을 파악해서 푼 거 아니냐? 라고 하면 그건 그렇지만,

이 정도 응용문제에서 만약 인간이 수식까지 완벽하게 쓰고 계산실수 없이 답을 잘 구해냈다면

누구라도 그 인간 보고 “잘 이해했구나.”라고 할 거임.

이걸 1트만에 잘 풀었다는 건 언어모델임에도 신기하게 이런 수학적 지식들을 잘 “이해하고 있다”는 뜻

6번 : 정답 (1분 19초)

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7번은 맨 위 사진에 나와있지는 않은데 이 문제

양변에 로그를 씌우든 네제곱을 하든 변형해서 테일러전개식을 쓴 후에, 복잡한 계산과정과 수학적 귀납법 등을 동원해서 

a_n이 음이 아닌 정수임을 보여야 하는 문제

언뜻 보기는 쉬워보이는데 괜히 7번 문제가 아니듯이 계산과정이 꽤 복잡하고 중간에 수학적 귀납법에서 귀납가정도 잘 써야함.

처음에는 a_n 을 그냥 막무가내로 계산 노가다로 구하려고 하다가,

좀 복잡한 식 나오니까 “음 이건 자명하진 않은데 보통 이런 합 구하다보면 전부 다 날라가서 정수됨ㅇㅇ” 이 ㅈㄹ 하고 앉았음ㅋㅋㅋ

좀 더 엄밀히 계산하고 계산과정 보여달라고 말하니까 접근 방향 바꿔서 잘 쓰긴 하더라

근데 이후에도 점화식은 잘 썼는데 계산 과정 틀리고 논리 전개도 틀리길래 한 3번 정도 바로 잡아줌

4트째에 성공

7번 : 정답 (4분 8초, 4트)

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결과 : 7문제 중 5문제 1트만에 정답,

         가장 어려운 7번 4트째에 제대로 풀어냄

결론 : 아직 계산 말고 증명 같은 부분에서 조금 복잡해지면 논리 전개에서 실수를 보일 때가 있음

특히 부호 판별을 좀 헷갈려 하는 것 같고, 내 생각엔 “그럴 듯한” 증명을 써놓으면 검증 모델이 제대로 검증을 못 해서

못 걸러내는 게 아닐까 싶음

그래도 수능~대수경 수준까지의 문제들은 어느 정도 잘 푸는 것 같고,

진짜 창의적인 발상이나 복잡한 사고를 필요로 하는 IMO나 Putnam 급은 아직 무리가 있지 않나 싶음

그래도 4o 나온지 반년, o1-preview 나온지 3개월 정도만에 이 정도면 정말 성장속도가 말이 안된다고 생각함

갠적으로 AlphaGeometry 가지고도 한번 테스트해보고 싶은데 걔는 자연어가 안 돼서 너무 피곤하더라…